$O(n)$ 思维

1. 是否能构成树

题目中第三个条件：“与第 $i$ 个房屋相连的房屋数量不能超过 $a_i$”。意味着第 $i$ 个节点的度最多为 $a_i$。

要使得图联通则最少需要 $n-1$ 条边，则最少有 $2(n - 1)$ 度。

结论：$\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} > 2(n - 1)$ 则为 Yes，即 $a$ 总和需要大于 $2(n - 1)$.

2. 最远距离

由于每条边长度都是 $1$ ，如果能连成一条直链，即为最长。

在直链下除了两个端点的度为 $1$， 其他点的度都为 $2$。只有度大于等于2的点才能作为中间节点链接两边；度为1只能作为端点，并且对于答案的贡献最多为2。

最长长度为: $度大于2的节点数量 + min(2, 度为1的节点数量)$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PII;

#define x first
#define y second

const int N = 1e5 + 10, mod = 1e9 + 7;

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    int one = 0, sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if(x == 1) one ++;
        sum += x;
    }
    
    if(sum < 2 * (n - 1)) cout << "No\n";
    else
    {
        cout << "Yes\n";
        cout << n - one + min(2, one) - 1 << endl;
    }
}

int main()
{
    int t = 1;
    scanf("%d", &t);
    while(t --)
        solve();
}